Znanstveni utorak: Fizika nogometa

Počelo je Svjetsko prvenstvo u nogometu, svi su prikovani za male ekrane (doduše, prije su bili puno manji nego danas) i bodre svoje omiljene reprezentacije. Najvažnija sporedna stvar na svijetu primorala je mnoge fanatike na godišnje odmore kako ne bi propustili niti jednu utakmicu.

S obzirom da nisam najbolji nogometni stručnjak i samo prognoziranje ishoda pojedinih ogleda dovelo bi do katastrofe (da ne kažem sramote), odlučio sam se na malo drugačiji pristup. Pokušat ćemo prići nogometu sa znanstvene strane i objasniti kakve zakonitosti vladaju iza „ispaljene bombe“ C. Ronalda i Messija.

Ne možemo reći da se njemački znanstvenik Heinrich Gustav Magnus pitao isto pitanje, ali sigurno je imao neku sličnu misao vodilju. Prema prikupljenim podacima on je rođen 1802. godine i živio je do 1870. godine. Bavio se većim dijelom kemijom, a kasnije se prihvatio problema iz fizike. Nije koristio svoje prvo ime, pa je tako ostao poznatiji kao Gustav Magnus.

Gospodin Magnus bavio se mnogim stvarima, ali mi ćemo se ovdje baviti tzv. Magnusovim efektom, odnosno kretanjem projektila ispaljenog iz vatrenog oružja. Naravno, mi nećemo pričati o vatrenom oružju i projektilu koji iz njega izlazi, nego ćemo Magnusove zaključke primijeniti na nogometnu loptu.

Magnusovim efektom nazivamo fenomen kada tijelo rotira u nekom fluidu. Kao tijelo koje rotira uzet ćemo loptu, a naš fluid bit će zrak. Kada nogometaš/nogometašica ispali loptu sa zemlje, ona će dobiti oblik parabole jer je u gravitacijskom polju i na nju djeluje otpor zraka. Međutim, što se detaljnije događa s loptom dok ona leti zrakom? Poslužit ćemo se poznatom fizikom kako bismo potanko precizirali o čemu se zapravo radi.

Počet ćemo s onim što često radimo prilikom rješavanja problema iz fizike, a to je da nacrtamo našu poznatu situaciju.

Slika 1. Rotirajuća lopta koja se nalazi u struji zraka, a F je Magnusova sila. [1]

Slika pokazuje loptu koja rotira u smjeru kazaljke na satu, dok strelice pokazuju smjer zraka (vjetra) kroz koji lopta prolazi. Magnusova sila (F) je sila koja nastaje zbog razlike u tlakovima s gornje i s donje strane rotirajuće lopte. Takvu istu pojavu (silu) najbliže si možemo predočiti kada vozimo bicikli ili kad ispružimo ruku kroz prozor dok je automobil u kretanju.

Na slici zapažamo da se donja strana lopte kreće u istom smjeru kao i vjetar, dok gornja strana ima suprotan smjer gibanja. Upravo zbog toga donja strana osjeća niži tlak i ima veću brzinu, dok gornja strana zbog veće turbulencije stvara područje visokog tlaka i ima manju brzinu. To samo pokazuje kako na loptu koja rotira djeluje otpor zraka koji ima različitu brzinu u nekoliko različitih točaka koje se nalaze na površini lopte, što dovodi do razlike u tlakovima i nastanka Magnusove sile koja je normalna na pravac kretanja lopte. Upravo je ta sila kriva zbog toga što lopta završi u mreži iako nam se na prvi pogled čini da ide pokraj gola.

Slika 2. Efekt Magnusove sile na smjer kretanja lopte. [5]

Za formulaciju Magnusovog efekta nije zaslužan Isaac Newton, iako se nagađa da je takvu pojavu upravo on prvi primijetio dok je gledao jedan teniski dvoboj u Cambridgeu i zapitao se koja sila uzrokuje da zarotirana teniska loptica nekad padne brže nego što se očekuje. Međutim, možemo reći da je Magnusova sila zapravo rezultat trećeg Newtonovog aksioma (zakona akcije i reakcije) koji kaže da zrak i lopta djeluju jedno na drugo jednakom silom, ali suprotnog smjera.

Njemački inženjer zrakoplovstva i izumitelj, Anton Flettner, iskoristio je Magnusov efekt i tako načinio brod koji je u sebi imao dva cilindra (valjka) koji mogu rotirati. Vjetar je tada stvarao nizak tlak s jedne strane valjka i visok tlak s druge strane valjka, što je za rezultat imalo pojavu Magnusove sile koja je pokretala brod. Isto tako, konstruirao je i avion bez krila, ali je sadržavao valjak koji svojom rotacijom omugućuje njegov let.

Pokušajmo prikazati matematičku konstrukciju Magnusovog efekta koristeći se poznatim Bernoullijevim jednadžbama. Bernoullijeva jednadžba osnovni je zakon koji vrijedi za gibanje fluida i dolazi iz zakona očuvanja energije prilikom strujanja fluida.

Njegov zbroj

imat će istu vrijednost u fluidu koji struji vodoravno. U jednadžbi (1) razlikujemo tlak p, gustoću i brzinu fluida v.

simbolizira izraz za kinetičku energiju, dok izraz simbolizira potencijalnu energiju. U slučaju Magnusovog efekta, relaciju možemo zanemariti s obzirom da je potencijalna energija fluida zanemariva, jer ne postoji promjena visine sustava kod strujanja zraka.

Naša jednadžba poprima oblik

Isto tako, možemo računati i intenzitet Magnusove sile pomoću relacije

F predstavlja Magnusovu silu, gustoću fluida (zraka), v linijsku brzinu lopte, S poprečni presjek lopte i C_L koeficijent izdizanja lopte. Poznavajući ove vrijednosti lako možemo izračunati Magnusovu silu lopte koja traži svoju putanju prema golu.

Dotaknut ćemo se još samo jedne formule kojom možemo pokazati kako nogometaš može najuspješnije primiti loptu, tako da mu ona ostane čvrsto uz nogu i omogući da već u idućoj sekundi postigne zgoditak za svoju reprezentaciju. Noga se pri zaustavljanju (primanju) lopte mora kretati brzinom lopte pomnoženom s koeficijentom restitucije, a koeficijent restitucije predstavlja omjer brzina prije i nakon sudara koji ima smjer normale.

(4)

U relaciji iznad, e predstavlja koeficijent restitucije. Koeficijent restitutucije možemo zapisati kao

(5)

Govoriti o vratarima (golmanima) i načinu na koji oni najuspješnije mogu zaustaviti loptu kako ne bi primili gol, zaista nema smisla. Možemo samo reći da se oni nalaze u najnezgodnijoj i najnepovoljnijoj situaciji i često moraju zaustavljati udarce koji su ekvivalentni s masom jednog prosječnog čovjeka. Njima ni sama fizika i znanost ne mogu pomoći.

ZA ONE KOJI ŽELE VIŠE:

Kutta – Joukowski teorem

Bernoullijeva jednadžba

Sudari čestica

Kosi hitac

Zadatak: Cristiano Ronaldo prima i zaustavlja loptu brzinom 15km/h. Ako je koeficijent restitucije , kolikom je brzinom išla lopta? (R: 9.4m/s)

LITERATURA:

[1] https://sr.wikipedia.org/wiki/Magnusov_efekat, 2018.

[2] https://en.wikipedia.org/wiki/Magnus_effect, 2018.

[3]https://www.scienceabc.com/pure-sciences/what-is-the-magnus-effect-swerve-ball-basketball.html, 2018.

[4] https://en.wikipedia.org/wiki/Heinrich_Gustav_Magnus, 2018.

[5] https://www.vreme.com/cms/view.php?id=937534&print=yes, 2018.