Svi smo mi već odavno prešli sa starih na pametne telefone. Zašto se baš zovu pametni? Pa vjerojatno zato sto imaju daleko više funkcija i mogućnosti od starih. Na primjer, danas je sasvim normalno očekivati od svog telefona da ima mogućnost spajanja na wi-fi, da ima i prednju i zadnju kameru, da mu se prikaz na ekranu može mijenjati iz vertikalnog u horizontalni pogled itd. Također, neizostavni dio današnjih telefona je i GPS (eng. global positioning system). Naravno, ne samo telefona nego i svih sličnih gadgeta koji imaju pristup internetu (automobilske navigacije, pametni televizori, mp4 playeri, novije igraće konzole itd.). Kako danas velika većina ljudi ima barem pametne telefone od ovog svega navedenog, zadržat ćemo se na njima.
Dakle, upalili smo svoju aplikaciju za navigaciju (ili jednostavno otišli na Google maps), što se to točno dalje dešava?
U Zemljinoj orbiti trenutno se nalazi 27 GPS satelita koji neprestano kruže. Od njih 27, 24 su konstantno aktivna, a ostala 3 služe kao zamjena ukoliko se neki pokvare.
Naš telefon šalje signal satelitima, a oni prema vremenu dospijeća tog signala računaju svoju udaljenost od telefona. Pogledajmo na koji način se to računa. Naravno, mi ćemo koristiti najjednostavniji mogući model zanemarujući mnoge prirodne pojave koje utiču na signal.
Prvo moramo izračunati udaljenost našeg telefona do nekog satelita. Znamo da se signal kreće brzinom svjetlosti koju ćemo zaokružiti na 300000 km/s. Recimo da se nalazimo u 2D ravnini i da mjerimo udaljenost do 3 satelita (kasnije ćemo vidjeti i zašto baš 3) te da znamo da je signalima trebalo točno t1, t2, odnosno t3 sekundi da bi došli do odgovarajućeg satelita. Svi brojevi su „uštimani“ (osim brzine svjetlosti) kako ne bismo dobili velike rezultate i kako bi račun bio što jednostavniji.
Znamo brzinu i vrijeme signala, a zanima nas prijeđeni put. To ćemo izračunati jednom od najpoznatijih formula fizike. Račun:
Ovime smo izračunali našu udaljenost do svakog od 3 satelita, a trenutne pozicije satelita su naravno u svakom trenutku poznate. Zamislimo da se nalazimo u 2D ravnini, odnosno da jedine dimenzije koje imamo su širina i visina. Promotrimo situaciju sa samo jednim satelitom. Znamo njegove koordinate u ravnini i našu udaljenost od njega. Ne znamo nikakav drugi pravac niti smjer na kojem se nalazimo od satelita, dakle, mi se možemo nalaziti na bilo kojoj točki kružnice opisane oko pozicije satelita kao što je vidljivo na slici (1). Neka su koordinate prvog satelita (1,1) i naša izračunata udaljenost s1 = 3 km.
Sada uvodimo i drugi satelit te neka se on nalazi na koordinatama (4,0). Znamo našu udaljenost i do njega, izračunali smo ju ranije i ona iznosi s2 = 3 km. Iz slike (2) odmah vidimo da poznavajući svoju udaljenost od 2 satelita znamo da se nalazimo u jednoj od dvije točke presjeka (točka Z ili W) što je velika prednost u odnosu na situaciju sa samo jednim satelitom kada smo imali beskonačan broj točaka.
Izračunajmo sada točne koordinate točaka Z i W. Kao što vidimo na slici (2), imamo dvije kružnice kojima znamo ishodište i radijus, stoga možemo zapisati njihove matematiče formule te izračunati njihov presjek:
Riješimo ovaj sustav od dvije jednadžbe sa dvije nepoznate kako bi smo izračunali x i y koordinate točaka Z i W:
Uvrstimo x=2 u bilo koju od polazne dvije jednadžbe, npr. u prvu, kako bi smo izračunali i y koordinate:
Iz ovoga slijede koordinate točaka Z i W odnosno Z(2,√5), W(2,-√5).
Dakle, ako se nalazimo u našoj ravnini i znamo udaljenosti do samo 2 satelita onda kao rezultat dobijemo dvije točke što znači da opet ne znamo točno gdje se nalazimo. Kao što je prikazano na slici (3) potreban nam je i treći satelit kako bi smo napokon dobili našu točnu lokaciju. Kao i za prva dva, poznate su nam koordinate trećeg satelita koje iznose (2, 3.24) te naša udaljenost do njega koja iznosi s3 = 1 km:
Dakle, matematička formula treće kružnice izgleda ovako:
Uobičajeno bi sada bilo naći točke presjeka između npr. prve i ove zadnje kružnice, u tom slučaju bi na isti način trebalo riješiti sljedeći sustav:
Kao rješenje bismo dobili 2 točke presjeka i to A(1.11, 2.79) i B(2, 2.24). Vidimo da jedna od dobivenih točaka ima iste koordinate kao točka Z odnosno da je to točka u kojoj se sijeku sve 3 kružnice.
Ukoliko želite biti sigurni da je Z(2, 2.24) stvarno rješenje, možete njene koordinate redom uvrštavati u jednadžbe svih kružnica i ona ih mora sve zadovoljiti.
Kao što sam rekao na početku, ovo je pojednostavljeni model koji ne uzima u obzir mnoge čimbenike i služi samo kao demonstracija. U ovom modelu smo se nalazili u ravnini pa smo računali s kružnicama. U stvarnom životu se nalazimo u 3D prostoru i moramo računati sa sferama što znači da imamo jednu dimenziju više (u računu bi to značilo da imamo jednu varijablu više). Zato u stvarnom životu nisu dovoljna samo tri satelita nego barem četiri. No ne brinite, od ona 24 satelita u Zemljinoj orbiti, u svakom trenutku nas pokriva i više od četiri tako da su vaše GPS aplikacije precizne i pouzdane.
Autor: Mitar Cvjetković, student matematike i računarstva
