Oni koji su gledali film „Genijalni um“ (eng: A Beautiful Mind) koji je nagrađen s 4 Oscara, sigurno će se sjećati poznate scene kada glavni glumac, matematičar John Nash (glumi ga Rusell Crowe), sjedi u kafiću među gomilom papira i rješava neke zadatke. Pritom brzinom munje izlijeće van jer je dobio sjajnu ideju za koju kasnije dobiva Nobelovu nagradu.
Ukratko, scena ide ovako. John sjedi u kafiću i dolaze njegova četiri prijatelja i sjedaju s njim za stol. Zatim u kafić ulazi pet djevojaka, pet prijateljica, od kojih John i njegovi prijatelji posebno zapažaju jednu od njih koja ih je na prvu odmah ostavila bez daha. Nakon toga kreće diskusija u kojoj pokušavaju naći najbolji način kako da netko od njih osvoji upravu tu djevojku. Tada John iznosi zanimljivu tezu i govori kako bi najbolje bilo da njegova četiri prijatelja krenu u zavođenje preostale četiri djevojke i izostave onu koju su smatrali najljepšom, jer će si u suprotnom međusobno smetati i nitko ju neće osvojiti. A ako se nakon toga okrenu preostalim djevojkama, one će ih odbiti jer će se osjećati manje vrijednima i drugim izborom. Nakon čega on ispisuje svoj Nashov ekvilibrijum i daje doprinos Teoriji igara, jednoj grani matematike.
Teorija igara je grana matematike koja se bavi proučavanjem raznih situacija u kojima su nekoliko strana u sukobu, a uspjesi pojedine strane ovise o odlukama koje donese druga strana. Ona se koristi u mnogim poljima, kao što je ekonomija, sociologija, politika itd. Jedan od tvoraca, John von Neumann, u svojoj je knjizi prvi dao uvid u nekoliko primjera iz ekonomije gdje se ona pojavljuje. Zatim i naš već spomenuti John Nash, na 28 stranica svog doktorata donosi svoj doprinos u obliku Nashovog ekvilibrijuma. To je koncept koji uključuje dva ili više igrača kod kojih se podrazumijeva da svaki igrač zna strategije drugih igrača, a nijedan igrač ne može ništa dobiti tako da samo on promijeni svoju strategiju.
Kako se Teorija igara može primjeniti na neke odluke pojedinaca iz svakodnevnog života, tako ćemo sve ovo pokušati objasniti na jednom zanimljivom primjeru.
Uzet ćemo dvije osobe, Marka i Marinu. Marko i Marina uvijek su se bavili mutnim poslovima, ali ovaj put su uhvaćeni od strane policije zbog posjedovanja i prodaje droge. Međutim, da bismo situaciju učinili još zanimljivijom, reći ćemo da se Marko i Marina ne podnose baš najbolje i nisu si previše vjerni. Policija ih odvede na ispitivanje i razdvoji, Marka u jednu sobu za ispitivanje, a Marinu u drugu, kako se ne bi mogli dogovarati. Prilikom ispitivanja, inspektor jasno daje do znanja kako će zbog ovoga ići u zatvor na 4 godine. Međutim, prije nekoliko dana dogodila se oružana pljačka banke u kojoj je jedna osoba ranjena i policija sumnja kako su to počinili upravo Marko i Marina, ali nemaju nikakvih dokaza. Inspektor se dosjeti i kaže: „Ukoliko Marko prizna taj zločin, a Marina ne prizna, Marko će dobiti 2 godine zatvora, a Marina 15. Ukoliko se dogodi da je obrnuto, Marina dobiva 2, a Marko 15 godina zatvora. I ako se dogodi da oboje priznate zločin, idete u zatvor na 6 godina“.
Kako bi nam sve ovo bilo malo jasnije, napravit ćemo matricu isplativosti i vidjeti sve opcije koje imaju Marko i Marina.
Slika 1. Matrica isplativosti.
Situacija je sada malo jasnija. Kako vidimo na slici 1. cijela situacija može se okončati na četiri načina:
- Marko prizna, Marina prizna. Oboje idu u zatvor na 6 godina.
- Marko prizna, Marina ne prizna. Marko ide na 2 godine, a Marina na 15.
- Marko ne prizna, Marina prizna. Marko ide na 15 godina, a Marina na 2.
- Marko ne prizna, Marina ne prizna. Oboje idu u zatvor na 4 godine.
Kako možemo vidjeti i sami, najbolje optimalno rješenje i za Marka i za Marinu bilo bi da oboje ne priznaju i tako dobiju najmanju moguću kaznu, od 4 godine zatvora. Međutim, s obzirom da im je najpametnije pokušati pretpostaviti odgovor druge osobe, u većini slučajeva Marko i Marina odabrat će ovaj prvi, priznavajući zločin. Taj prvi slučaj nazivamo Nashov ekvilibrijum. Zašto je to tako?
Razmišljajmo sada kao Marina. „Ako priznam, a Marko ne prizna, idem samo na 2 godine. Ako ne priznam, onda mi je rizik jer nisam sigurna što će reći Marko i mogu završiti u zatvoru na 15 godina. A ako se dogodi da i Marko prizna, što je vrlo vjerojatno, dobit ću 6 godina. Pa 6 godina je puno bolje nego 15, priznat ću“.
Isto smo tako mogli razmišljati kao i Marko, došli bismo do istog zaključka. Ovo je najpoznatiji i osnovni primjer teorije igara poznat kao „zatvorenikova dilema“.
Prava definicija Nashovog ekvilibrijuma glasi da je to stabilno stanje sustava koji uključuje nekoliko sudionika u kojem nijedan ne može dobiti ako promijeni svoju strategiju, uzevši u obzir da drugi svoju strategiju ne mijenjaju.
Idemo to i provjeriti u situaciji kada i Marko i Marina priznaju. Ukoliko Marko odluči promijeniti svoju strategiju i kaže da ne priznaje, dok Marina ostane pri svojoj, Marko dobiva 15 godina u odnosu na onih 6 iz prve odluke. Znači da može samo izgubiti. Isto tako ako Marina promijeni svoju odluku i kaže da ne priznaje, dok Marko ostane pri svojoj, umjesto prijašnjih 6, Marina odlazi u zatvor na 15 godina. Ovo je upravo dokaz ekvilibrijuma, nitko ništa ne dobiva, samo može izgubiti.
Upravo zbog toga igrači racionalno dolaze do prvog scenarija, a ne ovog četvrtog koji je optimalno najbolji, ali vrlo nestabilan. Svaki pojedinac donosi odluku prema onim odlukama koje može donijeti i druga strana. Na taj način, John Nash upotpunjuje zaključke škotskog ekonomiste Adama Smitha koji je rekao da nabolji rezultat dolazi kada svi u grupi rade ono što je najbolje za njih. Dodajući da će najbolji rezultat doći ako svatko u grupi radi ono što je najbolje za njega i za cijelu grupu.
Svakodnevno se susrećemo s nekim konfliktnim situacijama, a Teorija igara svojim objašnjenjima nudi nam analizu pojedinih situacija i koje su solucije najbolje moguće. Upravo ovaj Nashov ekvilibrijum nije najbolje rješenje za osobu, ali je najbolje za sve sudionike igre.
Zaključak je da izbjegavate ovakve i slične konflikte i da vam slučajno ne pada na um pljačkanje banke i slična kaznena djela. Kako god okrenete, završit će te u zatvoru.
Tekst: Dejan Gemeri
ZA ONE KOJI ŽELE VIŠE:
Igre dvaju igrača sa sumom nula
Igra sa sedlom
LITERATURA:
[1] https://hr.wikipedia.org/wiki/Teorija_igara, 2018.
[2] https://sh.wikipedia.org/wiki/Nashov_ekvilibrijum, 2018.
[3] https://hr.wikipedia.org/wiki/John_Forbes_Nash, 2018.
[4] https://hrcak.srce.hr/file/168691, 2018.